Question

已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，a₄=e，如果a₂，a₇是關(guān)于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

e

)兩個(gè)實(shí)根，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)：b_n=lna_n，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和，當(dāng)：S_n=n時(shí)，求n的值；
（3）對(duì)于（2）中的{b_n}，設(shè)：c_n=b_nb_n+1b_n+2，而 T_n是數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，求T_n的最大值，及相應(yīng)的n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的兩項(xiàng)是一元二次方程根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，表示出兩個(gè)項(xiàng)的積，用首項(xiàng)和公比表示出來(lái)，同第四項(xiàng)作比，得到第五項(xiàng)，得到公比，寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)．
（2）構(gòu)造出新數(shù)列，表示出新數(shù)列的通項(xiàng)，得到一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，表示出前n項(xiàng)和，使它等于n，解關(guān)于n的方程，得到結(jié)果．
（3）列舉出數(shù)列{b_n}的前六項(xiàng)，進(jìn)而列舉出數(shù)列{c_n}的前四項(xiàng)，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)的和，觀察出后面的項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，只有前幾項(xiàng)的和可能取得最大值，比較得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵a₂，a₇是關(guān)于x的方程：ex2+kx+1=0，(k＞2

e

)兩個(gè)實(shí)根，
∴a₂a₇=

1

e

∴a₁²q⁷=

1

e

   ①
∵a₄=e，②

①

②

得a₁q⁴=

1

e2

=a₅
∴q=e^-3
∴數(shù)列的通項(xiàng)是a_n=e×（e^-3）^n-4=e^-3n+13
（2）∵b_n=lna_n=-3n+13，
∴數(shù)列{b_n}是一個(gè)等差數(shù)列
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和S_n是

[10+(-3n+13)]n

2

=-

3

2

n2+

23

2

n，
∴S_n=n時(shí)，有

3

2

n2+

23

2

n=n，
∴n=7，n=0（舍去）
∴n=7即n的值為7．
（3）∵b₁=10，b₂=7，b₃=4，b₄=1，b₅=-2，b₆=-5
∴c₁=280，c₂=28，c₃=-8，c₄=10，從第五項(xiàng)開(kāi)始，這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)就是負(fù)數(shù)，
∵T₁=280，
T₂=308
T₃=300
T₄=310
T₅一定小于T₄，
T₆一定小于T₅，依此類推
∴T_n的最大值310，相應(yīng)的n的值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，本題解題的關(guān)鍵是采用列舉的方法對(duì)數(shù)列的前幾項(xiàng)的和表示出來(lái)，進(jìn)行分析，注意數(shù)字的運(yùn)算不要出錯(cuò)，本題是一個(gè)中檔題目．