Question

已知平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線l：x=

4 3

3

的距離與到定點(diǎn)F(

3

，0)的距離之比為

2 3

3

，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C，點(diǎn)A(1，

1

2

)
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）若M為軌跡C上的動(dòng)點(diǎn)，求線段MA中點(diǎn)N的軌跡方程；
（3）過原點(diǎn)O的直線交軌跡為C于B，C，求△ABC面積最大值．

Answer 1

（1）設(shè)P（x，y），
由題意

| 4 3 3 -x|

(x- 3 )2+y2

=

2 3

3

，
化簡得x²+4y²=4．
（2）設(shè)M（x_°，y_°），N（x，y），
由題意得：

x= 1+x° 2 y= 1 2 +y° 2

，
解得

x°=2x-1 y°=2y- 1 2

代入x²+4y²=4，
得(2x-1)2+4(2y-

1

2

)2=4
即(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1
（3）若BC斜率不存在時(shí)，△ABC面積為1．
設(shè)BC斜率為k，則BC的方程為y=kx，A到BC的距離為d=

|k- 1 2 |

1+k2

由

y=kx x2+4y2=4

消去y得x2=

4

1+4k2

，
所以|BC|=

1+k2

4

1+4k2

S△ABC=

1

2

|BC|d=

1

2

4 1+k2

1+4k2

|k- 1 2 |

1+k2

=2

|k- 1 2 |

1+4k2

=2

(k- 1 2 )2 1+4k2

≥

2

，
∴S的最大值為

2

．