Question

（07年天津卷理）(12分)

如圖，在四棱錐中，底面是的中點(diǎn).

    (I)證明：；

    (II)證明：平面；

    (III)求二面角的大小.

Answer 1

解析：(I)證明：在四棱錐中，

因底面平面故.

    平面.

    而平面.

(II)證明：由可得.是的中點(diǎn)，.

    由(I)知，且所以平面.而平面.

    底面在底面內(nèi)射影是.

    又綜上得平面.

(III)解法一：過(guò)點(diǎn)作垂足為連結(jié).

由(II)知，平面在平面內(nèi)的射影是則.因此是二面角的平面角.

    由已知，得.設(shè)可得

   

    在中，.則

   

    在中，

    所以二面角的大小是

解法二：由題設(shè)底面平面則平面平面交線(xiàn)為

    過(guò)點(diǎn)作垂足為故平面過(guò)點(diǎn)作垂足為連結(jié)故因此是二面角的平面角.

              

 

由已知，可得.設(shè)可得

   

    ∽

    于是，

    在中，

    所以二面角的大小是

【考點(diǎn)】本小題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直、直線(xiàn)與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.