Question

已知橢圓C與橢圓C₁：

x2

9

+

y2

5

=1有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過(guò)點(diǎn)(2

3

，

3

)，右焦點(diǎn)為F，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線y=

1

2

x與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，求△FMN的面積．

Answer 1

分析：（1）依題意，可求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)（±2，0），方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，將點(diǎn)（2

3

，

3

）的坐標(biāo)代入橢圓C的方程可求得a²，從而可得答案；
（2）由橢圓C的方程與直線y=

1

2

x聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式可求得|MN|，由點(diǎn)到直線間的距離公式可求得點(diǎn)F到直線y=

1

2

x的距離d，從而可求△FMN的面積．

解答：解：（1）∵橢圓C₁：

x2

9

+

y2

5

=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±2，0），
∴依題意設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

a2-4

=1，將點(diǎn)（2

3

，

3

）的坐標(biāo)代入橢圓C的方程，
得

(2 3 )2

a2

+

( 3 )2

a2-4

=1，解得a²=16或a²=3（舍），
∴橢圓C的方程為：

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）由

x2 16 + y2 12 =1 y= 1 2 x

消去y得：x²=12，
∴x=±2

3

，y=±

3

．
不妨取M（2

3

，

3

），N（-2

3

，-

3

），
∴|MN|=

[ 3 -(- 3 )]2+[2 3 -(-2 3 )]2

=

12+48

=

60

=2

15

．
又右焦點(diǎn)F（2，0）到直線y=

1

2

x即x-2y=0的距離d=

2

5

=

2 5

5

，
∴S_△FMN=

1

2

|MN|•d=

1

2

×2

15

×

2 5

5

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，著重考查方程思想與韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式的綜合應(yīng)用，屬于難題．