Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（2）令函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)，若函數(shù)有且只有一個零點，判斷與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上單調(diào)遞增；當或時，在上單調(diào)遞增, 當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；（2）.

【解析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出在上有唯一零點，由已知函數(shù)有且僅有一個零點，則，得，令，故，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出零點的分布情況，從而可求出的取值范圍即可.

（1）由已知，且,

①當時，即當時，,

則函數(shù)在上單調(diào)遞增.

②當時，即或時，有兩個根，

，因為，所以,

1°當時，令，解得,

當或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增,

2°當時，令，，

解得,

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在上單調(diào)遞增；

3°當時，令，解得,

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

（2）函數(shù),

則,

則，所以在上單調(diào)增,

當，所以

所以在上有唯一零點,

當，所以為的最小值

由已知函數(shù)有且只有一個零點，則

所以則

則，得,

令，所以

則，所以,

所以在單調(diào)遞減，

因為,

所以在上有一個零點，在無零點,

所以 .