Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）已知

2x+y-2≥0 x-2y+4≥0 3x-y-3≤0

，則x²+y²的取值范圍是

[

4

5

，13]

．

Answer 1

分析：已知不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域是三角形ABC及其內(nèi)部，而x²+y²=OP²表示區(qū)域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)的距離，移動(dòng)P點(diǎn)不難得到OP長(zhǎng)的最大值和最小值，從而求出x²+y²的取值范圍．

解答：解：作出不等式組 

x+y≤2 x≥1 y≥-3

對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分三角形
設(shè)P（x，y）是區(qū)域內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP²=x²+y²，
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A（2，3）重合時(shí)，OP達(dá)到最大值，此時(shí)x²+y²=13；
又∵原點(diǎn)到直線2x+y-2=0的距離為d=

2

22+12

=

2 5

5

∴當(dāng)P點(diǎn)與原點(diǎn)在直線2x+y-2=0的射影點(diǎn)重合時(shí)，OP達(dá)到最小值，此時(shí)x²+y²=（

2 5

5

）²=

4

5

∴x²+y²的取值范圍是[

4

5

，13]
故答案為：[

4

5

，13]

點(diǎn)評(píng)：本題給出x、y滿足的不等式組，求目標(biāo)函數(shù)x²+y²的取值范圍，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．