Question

已知f（x）是定義在R上的且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²，如果直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個交點，則實數(shù)a的值是？

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，找到恰好有兩個交點的兩種情況，再根據(jù)周期性即可寫出正確答案

解答：解：∵原函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²
∴當(dāng)-1≤x≤0時，0≤-x≤1
∴f（-x）=（-x）²
又∵f（x）是偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
∴當(dāng)-1≤x≤0時，f（x）=x²
∴當(dāng)-1≤x≤1時，f（x）=x²
又∵原函數(shù)周期為2
∴刻畫出原函數(shù)圖象如圖：

∴直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個交點，有兩種情況
（1）當(dāng)直線過（0，0）和點（1，1）時，直線y=x+a與曲線y=f（x）恰有兩個交點
∴a=0
由周期性的a=2k（k∈Z）
（2）當(dāng)直線與曲線相切時：當(dāng)0≤x≤1時，f（x）=x²

y=x2 y=x+a

∴x²-x-a=0
由題意知△=1+4a=0
∴a= -

1

4

由周期性知a=2k-

1

4

（k∈Z）
∴a=2k或a=2k-

1

4

(k∈Z)

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和零點的相關(guān)知識，