Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x² （a為實(shí)常數(shù)）．

（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)；

（3）若 a＞0，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f（x₁）﹣f（x₂），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．

專題：

導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．

分析：

（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得，在區(qū)間（0，+∞）上分別解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得出單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)x=1時(shí)，方程f（x）=0無解．

當(dāng)x≠1時(shí)，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價(jià)于方程 （x∈（1，e]）．

設(shè)g（x）=，則．分別解出g′（x）＞0與g′（x）＜0即可得出單調(diào)性，

又g（e）=e²，，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖象，由圖象可知a的范圍與方程根的關(guān)系；

（3）若a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．

不妨設(shè)1≤x₁≤x₂≤e，則等價(jià)于．

即，即函數(shù)在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)．

可得，即在x∈[1，e]時(shí)恒成立．再利用在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：

解：（1）當(dāng)a=﹣4時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0．

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．

（2）當(dāng)x=1時(shí)，方程f（x）=0無解．

當(dāng)x≠1時(shí)，方程f（x）=0（x∈[1，e]）等價(jià)于方程 （x∈（1，e]）．

設(shè)g（x）=，則．

當(dāng)時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）遞減，

當(dāng)時(shí)，g'（x）＞0，函數(shù)g（x）遞增．

又g（e）=e²，，作出y=g（x）與直線y=﹣a的圖象，由圖象知：

當(dāng)2e＜﹣a≤e²時(shí)，即﹣e²≤a＜﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有2個(gè)相異的根；

當(dāng)a＜﹣e²或a=﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有1個(gè)根；               

當(dāng)a＞﹣2e時(shí)，方程f（x）=0有0個(gè)根．

（3）若a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，e]上是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間[1，e]上是減函數(shù)．

不妨設(shè)1≤x₁≤x₂≤e，

則等價(jià)于．

即，

即函數(shù)在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)．

∴，即在x∈[1，e]時(shí)恒成立．

∵在x∈[1，e]時(shí)是減函數(shù)，∴．

所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．

點(diǎn)評(píng)：

本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、等價(jià)轉(zhuǎn)化、適當(dāng)變形等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力和計(jì)算能力．