Question

【題目】已知二次函數(shù)滿(mǎn)足，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

（1）求函數(shù)的解析式;

（2）若是上的奇函數(shù)，且時(shí)，，求的解析式;

（3）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2+x+1．（2）

（3）．

【解析】

（1）利用及方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，列得關(guān)于，的方程，解出即可；

（2）由是上的奇函數(shù)，得到，再利用奇偶性求得時(shí)的，寫(xiě)成分段函數(shù)形式即可.

（3）先利用二次函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)f（x）的最大值，再利用判別式解得c得范圍．

（1）∵二次函數(shù)滿(mǎn)足，

∴4a+2b=0．

又方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

即ax2+（b﹣1）x＝0，∴△＝（b﹣1）2＝0．

∴，

∴f（x）＝x2+x+1．

（2）∵是上的奇函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，

又時(shí)，，

令，則，∴，∵是上的奇函數(shù)，，

綜上，

（3）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)，恒成立，則

又f（x）＝x2+x+1=，

∴ ，即對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，

∴，即，解得，

∴．