Question

（本題滿分14分）

已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).

（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；

（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。

 

Answer 1

【答案】

(1)(2) (3)

【解析】

試題分析：解：(1)由已知得橢圓的半長(zhǎng)軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1.

又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x₀,y₀),

由   得

又點(diǎn)P在橢圓上,得,

∴線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.

(3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此△ABC的面積S_△ABC=1.

當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),設(shè)該直線方程為y=kx,代入,

解得B(,),C(－,－),

則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,

∴△ABC的面積S_△ABC=

于是S_△ABC=

由≥－1,得S_△ABC≤,其中,當(dāng)k=－時(shí),等號(hào)成立.

∴S_△ABC的最大值是.

考點(diǎn)：橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是利用橢圓的性質(zhì)得到a,b,c的關(guān)系式，同時(shí)聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理來表示軌跡方程，結(jié)合距離公式得到面積，屬于基礎(chǔ)題。