Question

求函數(shù)y=3-x2+2x+3的定義域、值域和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，定義域的求解易知為（-∞，+∞），值域的求解通過換元法將3+2x-x²換成u，通過二次函數(shù)的知識(shí)求得u的范圍為（-∞，4]，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)y=3^u的單調(diào)性即可求解
利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)（根據(jù)同增異減口訣，先判斷內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性，再判斷外層函數(shù)單調(diào)性，在同一定義域上，若兩函數(shù)單調(diào)性相同，則此復(fù)合函數(shù)在此定義域上為增函數(shù)，反之則為減函數(shù)）判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)定義：（就是定義域內(nèi)的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比較f（x₁），f（x₂）的大小，或f（x₁）＜f（x₂）則是增函數(shù)；反之則為減函數(shù)）證明即可

解答：解：根據(jù)題意，函數(shù)的定義域顯然為（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x²=4-（x-1）²≤4．
∴y=3^u是u的增函數(shù)，
當(dāng)x=1時(shí)，y_max=f（1）=81，而y=3-x2+2x+3＞0．
∴0＜3^u≤3⁴，即值域?yàn)椋?，81]．
（3）當(dāng)x≤1時(shí)，u=f（x）為增函數(shù)，y=3^u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]；
其證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，1]且令x₁＜x₂
則

f(x1)

f(x2)

=3-

x

2 1

+2 x1+3÷3-

x

2 2

+2x2+3 =3-

x

2 1

+2 x1 +3+

x

2 2

-2x2-3=3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2 (x1 -x2)=
3(

x

2 2

 -

x

2 1

) +2(x1 -x2)=3(x1-x2)  (2-x1-x2) 
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（-∞，1]
∴x₁-x₂＜0，2-x₁-x₂＞0
∴（x₁-x₂）（2-x₁-x₂）＜0
∴3(x1-x2)  (x1+x2+2)＜1
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴原函數(shù)單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1]
當(dāng)x＞1時(shí)，u=f（x）為減函數(shù)，y=3^u是u的增函數(shù)，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[1，+∞）．
證明同上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了以指數(shù)函數(shù)為依托，通過換元法進(jìn)行求解函數(shù)值域，另外還有復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于基礎(chǔ)題．