Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為面ADD₁A₁的中心，Q為DCC₁D₁的中心，則向量

PB

，

QA1

夾角的余弦值為（　　）

• A、

  6

  6

• B、-

  6

  6

• C、

  1

  6

• D、-

  1

  6

Answer 1

分析：建立空間坐標(biāo)系，給出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出向量

PB

，

QA1

的坐標(biāo)表示，利用夾角公式向量夾角的余弦值．

解答：解：設(shè)正方體的棱長為2，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則：B（2，2，0），A₁（2，0，2），P（1，0，1），Q（0，1，1），
∴

PB

=（1，2，-1）；

QA1

=（2，-1，1），
∴cos＜

PB

，

A1Q

＞=

PB • A1Q

| PB || A1Q |

=

2-2-1

6 × 6

=-

1

6

，
∴向量

PB

，

QA1

夾角的余弦值為-

1

6

．
故選D．

點(diǎn)評：本題考查了用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量夾角的余弦值，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力；向量法求異面直線所成的角的余弦值，是求異面直線所成角的常用方法之一，要熟練掌握．