Question

已知函數(shù)f(x)=

(2-m)x

x2+m

．
（Ⅰ）當m=1時，求曲線f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當m=1時，求導數(shù)，求出曲線f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線的斜率，可得切線方程；
（Ⅱ）求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)的正負，可求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）當m=1時，f(x)=

x

x2+1

．
因為f′(x)=

-x2+1

(x2+1)2

，所以k=f′(

1

2

)=

12

25

．
因為f(

1

2

)=

2

5

，所以函數(shù)f（x）在點(

1

2

，f(

1

2

))處的切線方程為12x-25y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(2-m)(x2+m)-(2-m)x•2x

(x2+m)2

=

(m-2)(x2-m)

(x2+m)2

（1）當m=0時，f(x)=

2

x

．
因為f′(x)=-

2

x2

，當f'（x）＜0時，x＜0，或x＞0．
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無單調增區(qū)間．
（2）當m＜0時，f（x）的定義域為{x|x≠±

-m

}．
當f'（x）＜0時，x＜-

-m

或-

-m

＜x＜

-m

或x＞

-m

，
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，無單調增區(qū)間．
（3）當m＞0時，f′(x)=

(m-2)(x+ m )(x- m )

(x2+m)2

．
①當0＜m＜2時，
若f'（x）＜0，則x＜-

m

或x＞

m

，
若f'（x）＞0，則-

m

＜x＜

m

，
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，
函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為(-

m

，

m

)．
②當m=2時，f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，無單調區(qū)間．
③當m＞2時，若f'（x）＜0，則-

m

＜x＜

m

，若f'（x）＞0，則x＜-

m

或x＞

m

，
所以函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-

m

，

m

)，
函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)．
綜上所述，當m=0時，函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞），無單調增區(qū)間；
當m＜0時，函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，無單調增區(qū)間；
當m＞0時，①當0＜m＜2時，函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為(-

m

，

m

)；
②當m=2時，f（x）=0，為常數(shù)函數(shù)，無單調區(qū)間；
③當m＞2時，函數(shù)f（x）的單調減區(qū)間為(-

m

，

m

)，函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)…（13分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性，考查分類討論的數(shù)學思想，正確分類是關鍵．