Question

【題目】已知數(shù)列中，，（且）．

（1）求的值；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；

（3）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．

Answer 1

【答案】（1），

（2）存在,

（3）

【解析】

(1)由 ，及遞推公式,計(jì)算即可求得的值;

(2) 設(shè),利用，求得,再證明即證得存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列;

(3) 由(2)知,數(shù)列為首項(xiàng)是2,公差是1的等差數(shù)列,求得,利用分組求和及錯位相減法即可求得結(jié)果.

解：（1），，．

（2）方法一：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列，

設(shè)，由為等差數(shù)列，則有，

，，解得．

又．

，所以存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．

方法二：設(shè)，

，

∴當(dāng)時，為常數(shù)，此時，

所以存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．

方法三：，，兩邊同除得，

即，又，

所以存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列．

（3）由（2）知，數(shù)列為首項(xiàng)是2，公差是1的等差數(shù)列，

，，

記，則，令，則

，

①

②

①-②得

，．