Question

過點P（4，2）作直線l交x軸于A點、交y軸于B點，且P位于AB兩點之間．
（Ⅰ）

AP

=3

PB

，求直線l的方程；
（Ⅱ）求當

AP

•

PB

取得最小值時直線l的方程．

Answer 1

分析：設直線l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-

2

k

，0），B（0，2-4k）．結(jié)合P位于A、B之間，建立不關于k的不等式，可得k＜0．
（I）由A、B、P的坐標，得出向量

AP

和

PB

坐標，從而將

AP

=3

PB

化為關于k的方程，解出k值即得直線l的方程；
（II）由向量數(shù)量積的坐標運算公式，得出

AP

•

PB

關于k的表達式，再用基本不等式得到

AP

•

PB

取得最小值時l的斜率k，從而得到直線l的方程．

解答：解：由題意知，直線l的斜率k存在且k≠0，
設l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-

2

k

，所以A（4-

2

k

，0），
再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k）…2分
因為點P（4，2）位于A、B兩點之間，所以4-

2

k

＞4且2-4k＞2，解得k＜0．
∴

AP

=（

2

k

，2），

PB

=（-4，-4k）…2分
（Ⅰ）因為

AP

=3

PB

，所以

2

k

=3•(-4)，所以k=-

1

6

．
∴直線l的方程為y=-

1

6

（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．…3分
（Ⅱ）因為k＜0，所以

AP

•

PB

=8((-k)+(-

1

k

))≥16，
當-k=-

1

k

即k=-1時，等號成立．
∴當

AP

•

PB

取得最小值時直線l的方程為y=-（x-4）+2，化為一般式：x+y-6=0．…3分．

點評：本題以向量的坐標運算為載體，求直線l的方程．著重考查了直線的方程和向量在幾何中的應用等知識，屬于中檔題．