Question

已知拋物線y²=8x的焦點F到雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為

4 5

5

，點P是拋物線y²=8x上的一動點，P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，則該雙曲線的方程為（　�。�

• A．

  y2

  2

  -

  x2

  3

  =1
• B．y2-

  x2

  4

  =1
• C．

  y2

  4

  -x2=1
• D．

  y2

  3

  -

  x2

  2

  =1

Answer 1

分析：確定拋物線的焦點坐標(biāo)，雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而可得b=2a，再利用拋物線的定義，結(jié)合P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，可得FF₁=3，從而可求雙曲線的幾何量，從而可得結(jié)論．

解答：解：拋物線y²=8x的焦點F（2，0），雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為ax-by=0，
∵拋物線y²=8x的焦點F到雙曲線C：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）漸近線的距離為

4 5

5

，
∴

2a

a2+b2

=

4 5

5

∴b=2a
∵P到雙曲線C的上焦點F₁（0，c）的距離與到直線x=-2的距離之和的最小值為3，
∴FF₁=3
∴c²+4=9
∴c=

5

∵c²=a²+b²，b=2a
∴a=1，b=2
∴雙曲線的方程為

y2

4

-x2=1
故選C．

點評：本題考查拋物線、雙曲線的幾何性質(zhì)，考查拋物線的定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．