Question

P、Q、M、N四點都在橢圓x²+=1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點。己知與共線， 與共線，且?=0。求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。

Answer 1

解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（0，1），且PQ⊥MN，直線PQ、MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點F（0，1），

故PQ方程為

將此式代入橢圓方程得

      

設(shè)P、Q兩點的坐標分別為，則

，

從而 |

                           

亦即  

（i）當時，MN的斜率為，同上可推得

             

故四邊形面積

              

                

                                                 

令，得

         

因為 ,

當時，,

且是以為自變量的增函數(shù)，

所以                                 

（ii）當時，MN為橢圓長軸，，

       

綜合（i），（ii）知，四邊形PMQN面積的最大值為，最小值為。