Question

已知函數(shù)f(x)=

2x-1

2x+1

．
（1）求函數(shù)的值域；
（2）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用有界法求解，將函數(shù)看作方程，解得2x=

1+y

1-y

，再由2^x＞0，解得y的范圍，即為所求．
（2）先對函數(shù)作適當(dāng)變形，再利用定義證明，先在定義域上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形，與零比較，由定義得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵2x=

1+y

1-y

，
又2^x＞0，即

1+y

1-y

＞0，
解可得-1＜y＜1
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）
（2）函數(shù)f（x）在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)
證明：f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

在定義域中任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂
f(x1)-f(x2)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

x₁＜x₂
∴2x1＜2x2
從而f（x₁）-f（x₂）＜0
所以函數(shù)f（x）在x∈R上為單調(diào)增函數(shù)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)值域的求法和單調(diào)性的證明，值域常見方法有單調(diào)性法，基本函數(shù)法，有界性法，判別式法等，證明單調(diào)性一般有定義法，導(dǎo)數(shù)法．