Question

在直角坐標(biāo)平面中，△ABC的兩個頂點(diǎn)為A（0，-1），B（0，1）平面內(nèi)兩點(diǎn)G、M同時滿足①，②==，③∥
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程
（2）設(shè)P、Q、R、N都在曲線E上，定點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，0），已知∥，∥且•=0．求四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，以，分別得到解析式，聯(lián)立即可求出頂點(diǎn)C的軌跡E的方程．
（2）根據(jù)題意設(shè)出直線PQ的方程，將之代入（1）的方程中，運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理，求出|PQ|，然后根據(jù)RN⊥PQ，求出S的解析式．最后即可求出四邊形PRQN面積S的最大值和最小值．
解答：解：（1）設(shè)C（x，y），
∵，
由①知，
∴G為△ABC的重心，
∴G（，）
由②知M是△ABC的外心，
∴M在x軸上．
由③知M（，0），
由得

化簡整理得：（x≠0）
（2）F（，0）恰為的右焦點(diǎn)
設(shè)PQ的斜率為k≠0且k≠±，
則直線PQ的方程為y=k（x-）
由
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
則x₁+x₂=，x₁•x₂=；
則|PQ|=•
=•
=
∵RN⊥PQ，把k換成
得|RN|=
∴S=|PQ|•|RN|
==）
∴∵≥2，
∴≥16，
∴≤S＜2，（當(dāng)k=±1時取等號）
又當(dāng)k不存在或k=0時S=2
綜上可得≤S≤2，
∴S_max=2，S_min=
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，平面向量與共線向量，向量數(shù)量積的運(yùn)算，以及求點(diǎn)的軌跡方程．通過運(yùn)用設(shè)而不求韋達(dá)定理，方便的求出坐標(biāo)的關(guān)系，考查了對知識的綜合運(yùn)用能力，屬于中檔題．