Question

設(shè)定點(diǎn)M（-2，4），動點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動，線段MN的中點(diǎn)為點(diǎn)P．
（1）求MN的中點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線l與點(diǎn)P的軌跡相切，且l在x軸．y軸上的截距相等，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，確定P，N坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用動點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動，即可求MN的中點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求直線l的方程．

解答：解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），N（x₀，y₀），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式有

x0=2x+2 y0=2y-4

∵動點(diǎn)N在圓x²+y²=4上運(yùn)動，
∴（2x+2）²+（2y-4）²=4
∴（x+1）²+（y-2）²=1；
（2）l在x軸．y軸上的截距相等且為0時(shí)，設(shè)方程為y=kx，即kx-y=0
∵直線l與點(diǎn)P的軌跡相切，∴

|-k-2|

k2+1

=1，∴k=-

3

4

l在x軸．y軸上的截距相等且不為0時(shí)，設(shè)方程為

x

a

+

y

a

=1，即x+y-a=0
∵直線l與點(diǎn)P的軌跡相切，∴

|-1+2-a|

2

=1，∴a=1±

2

綜上可知，直線l的方程為3x+4y=0或x+y-（1±

2

）=0．

點(diǎn)評：本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．