Question

（本小題滿分13分）

如圖，ABCD是塊矩形硬紙板，其中AB=2AD= 2，E為DC中點，將它沿AE折成直二面角D-AE-B.

（Ⅰ）求證：AD⊥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角B-AD-E的余弦值.

Answer 1

（本小題滿分13分）

（Ⅰ）證明：由題設可知AD⊥DE，取AE中點O，連結OD、BE，

∵AD=DE=，∴OD⊥AE，

又∵二面角D—AE—B為直二面角，

 ∴OD⊥平面ABCE， ∴OD⊥BE，AE=BE=2，AB=2，

∴AB²=AE²+BE²，AE⊥BE，OD∩AE=O，∴BE⊥平面ADE，

∴BE⊥AD，BE∩DE=E，∴AD⊥平面BDE.     …………………………（6分）

（Ⅱ）取AB中點F，連結OF，則OF//EB，∴OF⊥平面ADE，

以O為原點，OA，OF，OD為x、y、z軸建立直角坐標系（如圖），

則A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(-1，2，0)，，，

設是平面ABD的一個法向量，則，,∴取x=1，則y=1，z= 1，則，平面ADE的法向量

∴.     …………………………（13分）