Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知三點(diǎn)A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
（I）求橢圓的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)D（0，1），是否存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（III）若對(duì)于y軸上的點(diǎn)P（0，n）（n≠0），存在不平行于x軸的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使，試求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)橢圓方程為，據(jù)A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，，由此可求出橢圓方程．
（II）?，若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，1）不在x軸上矛盾．
可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0），由得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后利用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．
（III）由題設(shè)條件可推出，即，由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即，要使k存在，只需，由此可推導(dǎo)出n的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為，據(jù)A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知，解得
∴所求橢圓方程為（4分）
（II）∵條件等價(jià)于
∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點(diǎn)D（0，1）不在x軸上矛盾．
∴可設(shè)直線l：y=kx+m（k≠0）
由
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0得4k²+3＞m²．（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)為Q（x，y）
則．
又∵∴
解得：m=-3-4k²．（8分）
（將點(diǎn)的坐標(biāo)代入亦可得到此結(jié)果）
由4k²+3＞m²得，4k²+3＞（3+4k²）²得，4k²＜-2，這是不可能的．
故滿足條件的直線不存在．（10分）
（III）據(jù)（II）有，即，
解得，m=-n（3+4k²），
由4k²+3＞m²得4k²+3＞n²（3+4k²）²，即，要使k存在，只需
∴n的取值范圍是（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系和橢圓性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，恰當(dāng)?shù)剡x取公式．