Question

由原點(diǎn)向三次曲線(xiàn)引切線(xiàn),切于不同于點(diǎn)的點(diǎn)

，再由引此曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切于不同于的點(diǎn)，如此繼續(xù)地作下去,……,得到點(diǎn)列，試回答下列問(wèn)題： ⑴求； (2)求與的關(guān)系式；

(3)若，求證:當(dāng)為正偶數(shù)時(shí), ；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí), .

Answer 1

⑴，⑵⑶證明略

解析:

⑴由  ①  得y′=3x²－6ax＋b.

過(guò)曲線(xiàn)①上點(diǎn)的切線(xiàn)的方程是：

由它過(guò)原點(diǎn)，有

                                       

⑵ 過(guò)曲線(xiàn)①上點(diǎn)的切線(xiàn)l_n+1的方程是：

,由過(guò)曲線(xiàn)①上點(diǎn)，有

∵，以除上式，得

以除之，得  

(3)方法1 由(2)得

故數(shù)列{x _n－a}是以x ₁－a=為首項(xiàng),公比為－的等比數(shù)列,

 

∵，∴當(dāng)為正偶數(shù)時(shí),

當(dāng)為正奇數(shù)時(shí),                      

方法2

=

以下同解法1.