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        1. 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,滿足f(0)=f(1)=0,且f(x)的最小值是-
          1
          4

          (1)求f(x)的解析式;
          (2)設(shè)直線l:y=t2-t(其中0<t<
          1
          2
          ,t為常數(shù)),若直線l與f(x)的圖象以及y軸所圍成封閉圖形的面積是S1(t),直線l與f(x)的圖象所圍成封閉圖形的面積是S2(t),設(shè)g(t)=S1(t)+
          1
          2
          S2(t),當(dāng)g(t)取最小值時(shí),求t的值.
          分析:(1)由“f(0)=f(1)=0”結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,設(shè)f(x)=a(x-
          1
          2
          2-
          1
          4
          ,再代點(diǎn)求解.
          (2)要建立g(t)的模型,由于是曲線所圍成的圖象,所以用定積分求解,設(shè)直線l與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為
          (t,t2-t),再由定積分的幾何意義S1(t)=∫0t[(x2-x)-(t2-t)]dx,
          1
          2
          S2(t)=
          1
          2
          t
          [(t2-t)-(x2-x)]dx,再求和建立g(t)模型求其最值.
          解答:解:(1)由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,
          可設(shè)f(x)=a(x-
          1
          2
          2-
          1
          4

          又f(0)=0,∴a=1,故f(x)=x2-x.
          (2)據(jù)題意,直線l與f(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t2-t),由定積分的幾何意義知:
          g(t)=S1(t)+
          1
          2
          S2(t)
          =∫0t[(x2-x)-(t2-t)]dx+
          t
          1
          2
          [(t2-t)-(x2-x)]dx
          =[(
          x3
          3
          -
          x2
          2
          )-(t2-t)x]|0t+[(t2-t)x-(
          x3
          3
          -
          x2
          2
          )]
          |
          t
          1
          2

          =-
          4
          3
          t3+
          3
          2
          t2-
          1
          2
          t+
          1
          12


          而g′(t)=-4t2+3t-
          1
          2
          =-
          1
          2
          (8t2-6t+1)=-
          1
          2
          (4t-1)(2t-1).
          令g′(t)=0?t=
          1
          4
          或t=
          1
          2
          (不合題意,舍去).
          當(dāng)t∈(0,
          1
          4
          )時(shí),g′(t)<0,g(t)遞減;
          當(dāng)t∈(
          1
          4
          1
          2
          )時(shí),g′(t)>0,g(t)遞增;
          故當(dāng)t=
          1
          4
          時(shí),g(t)有最小值.
          點(diǎn)評(píng):本題主要考查二次函數(shù)解析式和其圖象的應(yīng)用,這里涉及了曲線所圍成的面積,要用定積分解決.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
          (I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
          (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
          (Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
          (Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
          (1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
          (2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問(wèn):是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
          f(x)x-1

          (1)求a的值;
          (2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
          (3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
          (2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過(guò)原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案