Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，已知a₁=2，a₅=512，T_n是數(shù)列{log₂a_n}的前n項(xiàng)和．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求T_n；
（Ⅲ）求滿足的最大正整數(shù)n的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出公比，寫出通項(xiàng)公式即可；
（II）先求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，證明其為等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算S_n即可；
（III）利用（II）的結(jié)論，可得，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)公比為q，依題意，2×q⁴=512
∵數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，
∴q=4
∴∴a_n=2×4^n-1=2^2n-1；
（II）由（I）得b_n=log₂a_n=log₂（2^2n-1）=2n-1
∴數(shù)列{b_n}為首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列
∴T_n==n²；
（III）===
令
∴
∴滿足的最大正整數(shù)n的值為223．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式的運(yùn)用，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及其運(yùn)用，考查數(shù)列與不等式的結(jié)合，屬于中檔題．