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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
          bx
          (a,b∈R)
          ,若f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為1.
          (Ⅰ)用a表示b;
          (Ⅱ)設(shè)g(x)=lnx-f(x),若g(x)≤-1對定義域內(nèi)的x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(Ⅰ)由f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為1,則得到f′(1)=1,進(jìn)而可得結(jié)果;
          (Ⅱ)由于g(x)≤-1恒成立,等價(jià)于g(x)max≤-1.利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最大值,可驗(yàn)證此時(shí)滿足要求,從而得到a的范圍.
          解答:解:(Ⅰ)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=a-
          b
          x2
          ,
          因?yàn)閒(x)在點(diǎn)(1,f(x))處的切線斜率為1,
          所以f′(1)=a-b=1,解得b=a-1;
          (Ⅱ)因?yàn)間(x)=lnx-f(x),
          所以g(x)=lnx-f(x)=lnx-(ax+
          a-1
          x
          )=lnx-ax-
          a-1
          x
          ,
          要使g(x)≤-1恒成立,即g(x)max≤-1.
          g′(x)=
          1
          x
          -a+
          a-1
          x2
          =
          -ax2+x+a-1
          x2
          =
          -(ax+a-1)(x-1)
          x2
          ,
          ①當(dāng)a=0時(shí),g′(x)=
          x-1
          x2
          ,
          當(dāng)x∈(0,1),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
          當(dāng)x∈(1,+∞),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
          則g(x)max=g(1)=1,不符題意;
          ②當(dāng)a≠0時(shí),g′(x)=
          -(ax+a-1)(x-1)
          x2
          =
          -a[x-(-1+
          1
          a
          )](x-1)
          x2
          =0⇒x=1,x=-1+
          1
          a

          (1)若a<0,-1+
          1
          a
          <0
          ,
          當(dāng)x∈(0,1),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
          當(dāng)x∈(1,+∞),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
          則g(x)min=g(1)=1-2a>1>-1,不符題意;
          (2)若a>0,
          0<a≤
          1
          2
          -1+
          1
          a
          >1
          ,
          當(dāng)x∈(0,1),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
          這時(shí)g(-1+
          1
          a
          )=ln(-1+
          1
          a
          )+2a-1>-1
          ,不符題意;
          1
          2
          <a<1
          ,0<-1+
          1
          a
          <1
          x∈(0,-1+
          1
          a
          )
          ,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
          這時(shí)g(1)=1-2a>1-2=-1,不符題意;
          若a≥1,-1+
          1
          a
          ≤0
          ,x∈(0,1),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;
          當(dāng)x∈(1,+∞),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
          則g(x)max=g(1)=1-2a≤-1,符合題意;
          綜上,得g(x)≤-1恒成立,實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥1.
          點(diǎn)評:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,考查轉(zhuǎn)化思想,本題綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,對能力要求較高.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
          a+1
          x
           
          (a>0)
          ,g(x)=4-x,已知滿足f(x)=g(x)的x有且只有一個(gè).
          (Ⅰ)求a的值;
          (Ⅱ)若f(x)+
          m
          x
          >1
          對一切x>0恒成立,求m的取值范圍;
          (Ⅲ)若函數(shù)h(x)=k-f(x)-g(x)(k∈R)在[m,n]上的值域?yàn)閇m,n](其中n>m>0),求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0,
          (1)求y=f(x)的解析式,并求其單調(diào)區(qū)間;
          (2)用陰影標(biāo)出曲線y=f(x)與此切線以及x軸所圍成的圖形,并求此圖形的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          ax-1x+1
          ;其中a∈R

          (Ⅰ)解不等式f(x)≤1;
          (Ⅱ)求a的取值范圍,使f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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          同步練習(xí)冊答案