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        1. 已知函數(shù)h(x)=lnx+
          1
          x

          (1)若g(x)=h(x+m),求g(x)的極小值;
          (2)若φ(x)=h(x)-
          1
          x
          +ax2
          -2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),其極小值為M,試比較2M與-3的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由;
          (3)若f(x)=h(x)-
          1
          x
          ,設(shè)Sn=
          n
          k=1
          f/(1+
          k
          n
          ),Tn=
          n
          k=1
          f/(1+
          k-1
          n
          ),n∈N*
          .是否存在正整數(shù)n0,使得當(dāng)n>n0時(shí),恒有Sn+Tn
          n
          4028
          +nln4.若存在,求出一個(gè)滿足條件的n0,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(1)由已知可得g(x)的表達(dá)式,求導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性可得極小值;(2)可得φ(x),求導(dǎo)數(shù)可得極值M,構(gòu)造函數(shù)v(x)=-1+2lnx-2x,再次求導(dǎo)數(shù)判單調(diào)性可得;(3)由數(shù)列的求和方法分別求得Sn和Tn,歸納可得
          1
          2n
          <ln
          2n
          2n-1
          ,累加可得
          Sn+Tn
          2n
          <ln2+
          1
          4n
          ,可得存在正整數(shù)n0=2014使之成立.
          解答:解:(1)∵g(x)=h(x+m)
          ∴g(x)=ln(x+m)+
          1
          x+m
            (x>-m)
          ∴g′(x)=
          1
          x+m
          -
          1
          (x+m)2
          =
          x+m-1
          (x+m)2
           
          x (-m,1-m) 1-m (1-m,+∞)
           g′(x) - 0 +
          g(x) 遞減 極小值 遞增
          所以g(x)極小值=g(1-m)=1
          (2)由題意可得φ(x)=h(x)-
          1
          x
          +ax2
          -2x=ax2-2x+lnx  (x>0)
          求導(dǎo)數(shù)可得φ′(x)=2ax-2+
          1
          x
          =
          2ax2-2x+1
          x
            (x>0),
          ∵φ(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),∴2ax2-2x+1=0在(0,+∞)有兩個(gè)不同的實(shí)根.
          設(shè)p(x)=2ax2-2x+1,設(shè)兩根為x1,x2,且x1<x2,
          則有
          △=4-8a>0
          x1+x2=
          1
          a
          >0
          x1x2=
          1
          2a
          >0
          ,解之可得0<a<
          1
          2
          ,
          x (0,x1 x1 (x1,x2 x2 (x2,+∞)
           φ′(x) + 0 - 0 +
          φ(x) 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增
          φ(x)極小值=M=φ(x2)=ax22-2x2+lnx2
          又p(x)=0在(0,+∞)的兩根為x1,x22ax22-2x2+1=0
          φ(x)極小值=M=φ(x2)=ax22-2x2+lnx2=x2-
          1
          2
          -2x2+lnx2=-
          1
          2
          +lnx2-x2

          ∴2M=-1+2lnx2-2x2,∵x2=
          1+
          1-2a
          2a
           0<a<
          1
          2
          ,∴x2>1,
          令v(x)=-1+2lnx-2x,v′(x)=-
          2
          x
          -2
          ,
          ∴x>1時(shí),v′(x)<0,v(x)在(1,+∞)遞減,
          ∴x>1時(shí),v(x)=-1+2lnx-2x<v(1)=-3
          ∴2M<-3
          (3)要使n>n0時(shí),恒有Sn+Tn
          n
          4028
          +nln4
          即:
          Sn+Tn
          2n
          1
          8056
          +ln2

          f(x)=lnx,f/(x)=
          1
          x
          .Sn=
          1
          1+
          1
          n
          +
          1
          1+
          2
          n
          +…+
          1
          1+
          n
          n
          ;
          Tn=
          1
          1+
          0
          n
          +
          1
          1+
          1
          n
          +…+
          1
          1+
          n-1
          n
          Sn
          n
          =
          1
          n
          (
          1
          1+
          1
          n
          +
          1
          1+
          2
          n
          +…+
          1
          1+
          n
          n
          )
          =
          1
          n+1
          +
          1
          n+2
          +…+
          1
          2n

          同理:
          Tn
          n
          =
          1
          n
          +
          1
          n+1
          +…+
          1
          2n-1

          Sn+Tn
          2n
          =
          1
          2
          [(
          1
          n
          +
          1
          n+1
          )+(
          1
          n+1
          +
          1
          n+2
          )+…+(
          1
          2n-1
          +
          1
          2n
          )]

          由(1)的結(jié)論,令m=1得
          x
          1+x
          <ln(x+1)(0<x<1)
          即:
          1
          x
          1+
          1
          x
          <ln(
          1
          x
          +1)(x>1)

          1
          1+x
          <ln(
          x+1
          x
          )
          即:
          1
          1+n
          <ln
          n+1
          n
          ,
          1
          2+n
          <ln
          n+2
          n+1
          1
          2n
          <ln
          2n
          2n-1

          累加:
          1
          n+1
          +
          1
          n+2
          +…+
          1
          2n
          <ln2即:
          Sn
          n
          <ln2

          Sn+Tn
          2n
          =
          1
          2
          [(
          1
          n
          +
          1
          n+1
          )+(
          1
          n+1
          +
          1
          n+2
          )+…+(
          1
          2n-1
          +
          1
          2n
          )]=
          Sn
          n
          +
          1
          4n

          Sn+Tn
          2n
          <ln2+
          1
          4n

          要使
          Sn+Tn
          2n
          1
          8056
          +ln2
          只需要ln2+
          1
          4n
          1
          8056
          +ln2
          ,即:n>2014
          綜上所述,存在正整數(shù)n0=2014,使得當(dāng)n>n0時(shí),恒有nln4<Sn+Tn
          n
          4028
          +nln4
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的極值和數(shù)列的綜合,涉及數(shù)列的求和以及表達(dá)式的綜合應(yīng)用,屬難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx其中常數(shù)a>0
          (1)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)f(x)在x∈(0,a)上的極大值和極小值;
          (2)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時(shí),若
          h(x)-g(x)x-x0
          >0
          在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”,當(dāng)a=4時(shí),試問(wèn)y=f(x)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2011•洛陽(yáng)二模)已知函數(shù)f(x)=(ax2-2x+a)e-x
          (I)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅱ)設(shè)g(x)=-
          f′(x)
          e-x
          -a-2,h(x)=
          1
          2
          x2-2x-lnx
          ,若x>l時(shí)總有g(shù)(x)<h(x),求實(shí)數(shù)c范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx.其中常數(shù)a>0.
          (1)當(dāng)a>2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (2)當(dāng)a=4時(shí),給出兩類直線:6x+y+m=0與3x-y+n=0,其中m,n為常數(shù),判斷這兩類直線中是否存在y=f(x)的切線,若存在,求出相應(yīng)的m或n的值,若不存在,說(shuō)明理由.
          (3)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0,h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時(shí),若
          h(x)-g(x)x-x0
          >0
          在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”,當(dāng)a=4時(shí),試問(wèn)y=f(x)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”,若存在,請(qǐng)至少求出一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=1nx,g(x)=ex
          (1)求函數(shù)h(x)=g(x)f′(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (2)設(shè)直線l為函數(shù)f(x)圖象上一點(diǎn)A(x0,1nx0)處的切線,證明:在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直線 l與曲線y=g(x)相切.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2010•濰坊三模)已知函數(shù)f(x)=
          a
          2
          x2
          +2x(a∈R),g(x)=lnx.
          (1)若函數(shù)h(x)=g(x)-f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;
          (2)當(dāng)a=l時(shí),證明:x=1是函數(shù)y=f'(x)-
          g(x)
          x
          -2的唯一極值點(diǎn).

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