Question

已知一次函數(shù)f（x）=ax+b，二次函數(shù)g（x）=ax²+bx+c，a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）證明：y=f（x）與y=g（x）圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B
（2）若A₁、B₁分別是點(diǎn)A、B在x軸上的射影，求線(xiàn)段A₁B₁長(zhǎng)度的取值范圍
（3）證明：當(dāng)x≤-時(shí)，恒有f（x）＜g（x）

Answer 1

【答案】分析：（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判斷判別式△=（b-a）²-4ac＞0即可．
（2））由設(shè) A（x₁，0），B（x₂，0）根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，結(jié)合a+b+c=0，a＞0＞c進(jìn)行判斷．
（3）要證當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立，即要證ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，，利用二次函數(shù)的知識(shí)即可證得結(jié)果．
解答：解：（1）證明：由 得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有兩個(gè)不等的根
∴函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴＜-．
∴-2＜＜-．
設(shè)A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=
=，
易得 ＜|A₁B₁|²＜12
即 ＜|A₁B₁|＜2 ．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，，
對(duì)稱(chēng)軸為x=＞0，
∴h（x）在（-∞，）上單調(diào)遞增，且h（ ）=（2+）（2a+c）=（2+）a（2+）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，，
即當(dāng) 時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合利用二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)證明問(wèn)題的能力，本題在解題中技巧性很強(qiáng)，如（1）中消去參數(shù)b利于確定判別式的范圍，（2）中靈活運(yùn)用a＞b＞c且a+b+c=0來(lái)確定 的范圍，此類(lèi)技巧的運(yùn)用需要平時(shí)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，題后應(yīng)對(duì)這些變形的技巧的變形過(guò)程及變形后達(dá)到目標(biāo)進(jìn)行細(xì)致的分析，力爭(zhēng)能把握此類(lèi)技巧的使用．考查函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，方程的根與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的圖象與x軸相交的線(xiàn)段的長(zhǎng)度的求解，考查的知識(shí)點(diǎn)比較多，是一道綜合性比較好的試題，體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式的相互轉(zhuǎn)化．