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        1. 已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中,S3、S4、S2成等差數(shù)列.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=2log
          1
          2
          |an|+1
          ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn;
          (3)求滿足(1-
          1
          T2
          )(1-
          1
          T3
          )•…•(1-
          1
          Tn
          )>
          1013
          2013
          的最大正整數(shù)n的值.
          分析:(1)依題意,等比數(shù)列{an}的公比q≠1,由S3、S4、S2成等差數(shù)列可列式求得q,從而可求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)由(1)知,an=(-
          1
          2
          )
          n-1
          ,從而可求得bn=2n-1,數(shù)列{bn}為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn;
          (3))可求得(1-
          1
          T2
          )(1-
          1
          T3
          )…(1-
          1
          Tn
          )=(1-
          1
          22
          )(1-
          1
          32
          )…(1-
          1
          n2
          )=
          n+1
          2n
          ,由
          n+1
          2n
          1013
          2013
          ,可求得最大正整數(shù)n的值.
          解答:解:(1)若q=1,則S3=3,S4=4,S2=2,顯然S3,S4,S2不構(gòu)成等差數(shù)列,
          ∴q≠1.
          故由S3,S4,S2成等差數(shù)列得:2•
          a1(1-q4)
          1-q
          =
          a1(1-q3)
          1-q
          +
          a1(1-q2)
          1-q
          …(2分)
          ∴2q4=q3+q2⇒2q2-q-1=0⇒(2q+1)(q-1)=0,
          ∵q≠1,
          ∴q=-
          1
          2
          .…(4分)
          ∴an=1×(-
          1
          2
          )
          n-1
          =(-
          1
          2
          )
          n-1
          .…(5分)
          (2)∵bn=2log
          1
          2
          |an|+1=2log
          1
          2
          |(-
          1
          2
          )
          n-1
          |+1=2log
          1
          2
          (
          1
          2
          )
          n-1
          +1=2(n-1)+1=2n-1…(7分)
          ∴Tn═1+3+…+(2n-1)=
          n(1+2n-1)
          2
          =n2.…(9分)
          (3)(1-
          1
          T2
          )(1-
          1
          T3
          )…(1-
          1
          Tn

          =(1-
          1
          22
          )(1-
          1
          32
          )…(1-
          1
          n2

          =
          22-1
          22
          32-1
          32
          n2-1
          n2
          =
          1•3•2•4•3•5•…•(n-1)(n+1)
          223242•…•n2
          …(11分)
          =
          n+1
          2n
          .…(13分)
          n+1
          2n
          1013
          2013
          ,解得:n<154
          11
          13

          故滿足條件的最大正整數(shù)n的值為154.…(14分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的求和,考查等差數(shù)列的求和與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查方程思想與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的綜合應(yīng)用,考查邏輯思維與運(yùn)算能力,屬于難題.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=1,bn>0,數(shù)列{ban}是公比為64的等比數(shù)列.
          (Ⅰ)求{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)求證:
          1
          S1
          +
          1
          S2
          +…+
          1
          Sn
          3
          4

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
          1
          4
          的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和Sn中S3,S4,S2成等差數(shù)列,
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)設(shè)bn=log
          1
          2
          |an|,若Tn=
          1
          b1b2
          +
          1
          b2b3
          +…+
          1
          bnbn+1
          ,求證:
          1
          6
          ≤Tn
          1
          2

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,且公差不為零,而等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)分別是a1,a2,a6
          (I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
          (II)若b1+b2+…bk=85,求正整數(shù)k的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,又?jǐn)?shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=nan
          (Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
          (Ⅱ)若cn=
          1bn(2an+3)
          ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=a,公差為2的等差數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足2bn=(n+1)an;
          (1)若a1、a3、a4成等比數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)若對(duì)任意n∈N*都有bn≥b5成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (3)數(shù)列{cn}滿足 cn+1-cn=(
          12
          )n(n∈N*)
          ,其中c1=1,f(n)=bn+cn,當(dāng)a=-20時(shí),求f(n)的最小值(n∈N*).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案