Question

（2011•東城區(qū)二模）已知sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，A∈（0，

π

4

）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）=cos2x+5cosAcosx+1的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）cosA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

），根據(jù)余弦函數(shù)差的公式代入求值．
（Ⅱ）將f（x）化簡，f（x）=cos2x+5cosAcosx+1=2cos²x+4cosx=2（cosx+1）²-2，x∈R．根據(jù)cosx的范圍求出f（x）的最大最小值，確定值域．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)锳∈（0，

π

4

）．
且sin（A+

π

4

）=

7 2

10

，
所以

π

4

＜A+

π

4

＜

π

2

，
cos（A+

π

4

）=

2

10

．
因?yàn)閏osA=cos（（A+

π

4

）-

π

4

）
=cos（A+

π

4

）cos

π

4

+sin（A+

π

4

）sin

π

4

=

2

10

×

2

2

+ 

7 2

10

•

2

2

=

4

5

所以 cosA=

4

5

．                             
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=cos2x+5cosAcosx+1
=2cos²x+4cosx
=2（cosx+1）²-2，x∈R．
因?yàn)閏osx∈[-1，1]，
所以，當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）取最大值6；
當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）取最小值-2．
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-2，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的化簡求最值，以及余弦函數(shù)差的公式，還考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．