Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4

2

，點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析：以BP所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，求出平面BEF的一個法向量

n1

=(0，1，-1)，
平面ABE的一個法向量

n2

=(x，y，z)，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

|n1 || n2 |

求出二面角A-BE-F的余弦值．

解答：解：如圖，以BP所在直線為z軸，
BC所在直線y軸，建立空間直角坐標系，
則B(0，0，0)，A(4

2

，4

2

，0)，C(0，4

2

，0)，P(0，0，4

2

)，E(0，2

2

，2

2

)，F(xiàn)(2

2

，2

2

，2

2

)
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，
又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，
∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，
又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF．
而

PC

=(0，4

2

，-4

2

)，
所以平面BEF的一個法向量

n1

=(0，1，-1)，（4分）
設(shè)平面ABE的一個法向量

n2

=(x，y，z)，
則

n2 • BE =2 2 y+2 2 z=0 n2 • BA =4 2 x+4 2 y=0

，則x：y：z=1：-1：1
取x=1，則平面AEF的一個法向量

n2

=(1，-1，1)（8分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

- 6

3

，
∴二面角A-BE-F的平面角的余弦值為

6

3

（10分）

點評：本題考查空間線面關(guān)系、二面角的度量，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．