Question

某服裝制造商現(xiàn)有300m²的棉布料，900m²的羊毛料，和600m²的絲綢料．做一條大衣需要1m²的棉布料，5m²的羊毛料，1m²的絲綢料．做一條褲子需要1m²的棉布料，2m²的羊毛料，1m²的絲綢料．
（1）在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種服裝，列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域．
（2）若生產(chǎn)一條大衣的純收益是120元，生產(chǎn)一條褲子的純收益是80元，那么應(yīng)采用哪種生產(chǎn)安排，該服裝制造商能獲得最大的純收益；最大收益是多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)生產(chǎn)大衣x條，褲子y條，則根據(jù)條件建立不等式組，利用不等式組表示平面區(qū)域進(jìn)行作圖．
（2）設(shè)收益為z，建立目標(biāo)函數(shù)z=120x+80y，然后利用線性規(guī)劃進(jìn)行求最值．

解答：解：（1）生產(chǎn)大衣x條，褲子y條，
則根據(jù)條件建立不等式組

x+y≤300 5x+2y≤900 x+y≤600

，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面圖象如圖：
（2）設(shè)收益為z，則目標(biāo)函數(shù)z=120x+80y，
則y=-

120

80

x+

z

80

=-

3

2

x+

z

80

，
平移直線y=-

3

2

x+

z

80

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

3

2

x+

z

80

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，直線y=-

3

2

x+

z

80

的截距最大，此時(shí)z也最大，
由

x+y=300 5x+2y=900

，解得

x=100 y=200

，即B（100，200），
代入目標(biāo)函數(shù)z=120x+80y得z=120×100+80×200=28000（元）．
即z的最大值為28000元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用條件建立不等式組關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．