Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，c＞0）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，且有f（c）=0，當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0．
（1）（文）當(dāng)a=1，時(shí)，求出不等式f（x）＜0的解；
（2）（理）求出不等式f（x）＜0的解（用a，c表示）；
（3）若以二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為8，求a的取值范圍；
（4）若f（0）=1，且f（x）≤m²-2km+1，對(duì)所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）文：當(dāng)a=1，時(shí)，，f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，
∵，設(shè)另一個(gè)根為x₂，則，∴x₂=1，（2分）
則 f（x）＜0的解為 ．（4分）
（2）理：f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∵f（c）=0，
設(shè)另一個(gè)根為x₂，則（2分）
又當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，則，則f（x）＜0的解為（4分）
（3）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∵f（c）=0，
設(shè)另一個(gè)根為x₂，則
又當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，則，則三交點(diǎn)為（6分）
這三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積為，（7分）
∴故．（10分）
（4）當(dāng)0＜x＜c時(shí)，恒有f（x）＞0，則，
∴f（x）在[0，c]上是單調(diào)遞減的，且在x=0處取到最大值1，（12分）
要使f（x）≤m²-2km+1，對(duì)所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必須f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，（14分）
必m²-2km≥0，令g（k）=-2km+m²，
對(duì)所有k∈[-1，1]，g（k）≥0恒成立，只要，即（16分）
解得實(shí)數(shù)m的取值范圍為 m≤-2或m=0或m≥2．（18分）
或者按m＜0，m=0，m＞0分類討論，每一類討論正確得（2分），結(jié)論（2分）．
分析：（1）當(dāng)a=1，時(shí)，，f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出 f（x）＜0的解；（2）f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，由題意得出函數(shù)f（x）的零點(diǎn)，結(jié)合圖解法求得f（x）＜0的解即可；
（3）由于f（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象表示出三交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積表達(dá)式，從而得到a關(guān)于c的表達(dá)式，最后利用基本不等式求a的取值范圍；
（4）要使f（x）≤m²-2km+1，對(duì)所有x∈[0，c]，k∈[-1，1]恒成立，必須f（x）_max=1≤m²-2km+1成立，令g（k）=-2km+m²，下面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題解決，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、一元二次不等式與一元二次方程、不等式的解法、函數(shù)恒成立問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．