Question

已知數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁=3，a₂=5，則（++…+）=（ ）
A．2
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，設其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，由對數(shù)的運算性質(zhì)可得，=2^d，又由a₁=3，a₂=5，可得=2，則可得{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，進而可得a_n=2ⁿ+1，結(jié)合題意有a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，代入可得答案．
解答：解：數(shù)列{log₂（a_n-1）}（n∈N^*）為等差數(shù)列，
設其公差為d，則log₂（a_n-1）-log₂（a_n-1-1）=d，
即=2^d，又由a₁=3，a₂=5，
則d=1，即=2，
{a_n-1}是以a₁-1=2為首項，公比為2的等比數(shù)列，
進而可得，a_n-1=2ⁿ，則a_n=2ⁿ+1，
故a_n-a_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
則（++…+）=（++…+）=1，
故選C．
點評：本題考查等差、等比數(shù)列的性質(zhì)與極限的運算，注意與對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的結(jié)合運用時，往往同時涉及等比、等差數(shù)列的性質(zhì)，是一個難點．