Question

（2012•韶關(guān)一模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同時為零的常數(shù)），其導(dǎo)函數(shù)為f'（x）．
（1）當a=

1

3

時，若不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，求b的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，且在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，關(guān)于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，將不等式f′(x)＞-

1

3

對任意x∈R恒成立，轉(zhuǎn)化為x²+2bx+b＞0恒成立，利用判別式，即可確定b的取值范圍；
（2）先確定函數(shù)的解析式，確定f（x）的單調(diào)性，由f（x）=0解得x=±1，x=0；
法一：作y=f（x）與y=-

t

4

的圖象，若只有一個交點，結(jié)合圖象分類討論；
法二：作y=f（x）與y=-

1

4

x的圖知交點橫坐標為x=±

3

2

，x=0，當x∈[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

)∪{

8 3

9

}時，過y=-

1

4

x圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當x取其它任何值時都有兩個或沒有交點，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）當a=

1

3

時，f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

，…（1分）
依題意　f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

＞-

1

3

即x²+2bx+b＞0恒成立
∴△=4b²-4b＜0，解得　0＜b＜1
所以b的取值范圍是（0，1）…（4分）
（2）因為f（x）=ax³+bx²+（b-a）x為奇函數(shù)，所以b=0，所以f（x）=ax³-ax，f'（x）=3ax²-a．
又f（x）在x=1處的切線垂直于直線x+2y-3=0，所以a=1，即f（x）=x³-x．…（6分）
∴f（x）在(-∞，-

3

3

)，(

3

3

，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，在[-

3

3

，

3

3

]上是單調(diào)遞減函數(shù)，
由f（x）=0解得x=±1，x=0，…（7分）
法一：如圖所示，作y=f（x）與y=-

t

4

的圖象，若只有一個交點，則
①當-1＜t≤-

3

3

時，f(t)≥-

1

4

t≥0，即t3-t≥-

t

4

，解得-

3

2

≤t≤-

3

3

；
②當-

3

3

＜t＜0時，f(t)＞-

1

4

t≥0，解得-

3

3

＜t＜0；③當t=0時，不成立；
④當0＜t≤

3

3

時，f(t)≤-

1

4

t＜0，即t3-t≤-

t

4

，解得0＜t≤

3

3

；
⑤當1≥t＞

3

3

時，f(t)＜-

1

4

t＜0，解得

3

3

＜t＜

3

2

；
⑥當t＞1時，1-

t

4

=f(

3

3

)⇒t=

8 3

9

.y=-

t

4

…（13分）
綜上t的取值范圍是-

3

2

≤t＜0或0＜t＜

3

2

或t=

8 3

9

．…（14分）
法二：作y=f（x）與y=-

1

4

x的圖知交點橫坐標為x=±

3

2

，x=0
當x∈[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

)∪{

8 3

9

}時，過y=-

1

4

x圖象上任意一點向左作平行于x軸的直線與y=f（x）都只有唯一交點，當x取其它任何值時都有兩個或沒有交點．
所以當t∈[-

3

2

，0)∪(0，

3

2

)∪{

8 3

9

}時，方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一個實數(shù)根．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．