Question

如圖邊長(zhǎng)為2的正方形花園的一角是以A為中心，1為半徑的扇形水池．現(xiàn)需在其余部分設(shè)計(jì)一個(gè)矩形草坪PNCQ，其中P是水池邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N、Q分別在邊BC和CD上，設(shè)∠PAB為θ．
（I）用θ表示矩形草坪PNCQ的面積，并求其最小值；
（II）求點(diǎn)P到邊BC和AB距離之比的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先利用∠PAB為θ，|AP|=1⇒AM=COSθ，PM=sinθ，⇒矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ），向下整理得-2+，再利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可求矩形草坪PNCQ的面積的最小值；
（II）先求得，再求其導(dǎo)函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)研究出原函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而求出其最小值．
解答：解：（I）因?yàn)椤螾AB為θ，|AP|=1．
∴AM=COSθ，PM=sinθ，
PN=2-cosθ，PQ=2-sinθ，
∴矩形草坪PNCQ面積S=（2-cosθ）（2-sinθ）
=4-2（sinθ+cosθ）+sinθ•cosθ
=4-2（sinθ+cosθ）+
=-2sin（）+
=sin²（）-2sin（）+
=-2+．
∵θ∈[0，]，∴∈[]．sin（）∈[，1]．
∴當(dāng)sin（）=1，即θ=時(shí)，面積有最小值此時(shí)s==．
故當(dāng)，最小值為；（6分）
（II）∵
∴，令1-2cosθ=0⇒．

θ
		- ↘	極小	+ ↗

所以當(dāng)時(shí)，（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，是對(duì)二次函數(shù)，三角函數(shù)等知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．