Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線：x-

3

y=4相切．
（1）求圓O的方程；
（2）若圓O上有兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線x+2y=0對(duì)稱(chēng)，且|MN|=2

3

，求直線MN的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)圓O的半徑為r，由圓心為原點(diǎn)（0，0），根據(jù)已知直線與圓O相切，得到圓心到直線的距離d=r，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心O到已知直線的距離d，即為圓的半徑r，由圓心和半徑寫(xiě)出圓O的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離以及垂徑定理求出直線方程中的參數(shù)，即可得到直線方程．

解答：（本題滿分14分）
（1）依題設(shè)，圓O的半徑r等于原點(diǎn)O到直線x-

3

y=4的距離，
即r=

4

1+3

=2．…（3分）
得圓O的方程為x²+y²=4．                     …（6分）
（2）由題意，可設(shè)直線MN的方程為2x-y+m=0．…（8分）
則圓心O到直線MN的距離d=

|m|

5

．                …（10分）
由垂徑分弦定理得：

m2

5

+(

3

)2=22，即m=±

5

．…（12分）
所以直線MN的方程為：2x-y+

5

=0或2x-y-

5

=0．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)距離公式，考查計(jì)算能力．