Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，使不等式，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線的下方

解析:

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

由，得函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)。

故要使使不等式成立，只需即可。

（Ⅱ）在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在直線的下方等價(jià)于

對(duì)，，即恒成立。

設(shè)，

則.

當(dāng)時(shí)，.

（1）若，即，，函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，

只需，即當(dāng)時(shí)恒成立.

（2）若，即時(shí)，令得

函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，為增函數(shù)，

則，不合題意.

（3）若，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，

則，不合題意.

綜上可知當(dāng)時(shí)恒成立，

即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上函數(shù)的圖象恒在直線的下方。

方法2：對(duì)，恒成立，即對(duì)，恒成立. 設(shè)函數(shù)，

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象在的圖象上方是不可能的；

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，即，對(duì)于的函數(shù)的圖象恒在的圖象上方；

（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)為過坐標(biāo)原點(diǎn)且開口向上的二次函數(shù)，要使的函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，只需函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)不在的右邊，即，則，且，即.

綜上可知當(dāng)時(shí)，對(duì)的函數(shù)的圖象恒在的圖象上方，即當(dāng)時(shí)函數(shù)的圖象恒在直線的下方。