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        1. 精英家教網(wǎng)在如圖的多面體中,EF⊥平面AEB,AE⊥EB,AD∥EF,EF∥BC,BC=2AD=4,EF=3,AE=BE=2,G是BC的中點(diǎn).
          (Ⅰ) 求證:AB∥平面DEG;
          (Ⅱ) 求證:BD⊥EG;
          (Ⅲ) 求二面角C-DF-E的余弦值.
          分析:(Ⅰ) 先證明四邊形ADGB是平行四邊形,可得AB∥DG,從而證明AB∥平面DEG.
          (Ⅱ) 過(guò)D作DH∥AE交EF于H,則DH⊥平面BCFE,DH⊥EG,再證BH⊥EG,從而可證EG⊥平面BHD,故BD⊥EG.
          (Ⅲ)分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸,建立空間坐標(biāo)系,由已知得
          EB
          =(2,0,0)
          是平面EFDA的法向量.
          求出平面DCF的法向量為n=(x,y,z),則由cosθ=cos<n,
          EB
          求得 二面角C-DF-E的余弦值.
          解答:解:(Ⅰ)證明:∵AD∥EF,EF∥BC,∴AD∥BC.  又∵BC=2AD,G是BC的中點(diǎn),∴AD
          .
          .
          BG
          ,
          ∴四邊形ADGB是平行四邊形,∴AB∥DG.∵AB?平面DEG,DG?平面DEG,∴AB∥平面DEG.
          (Ⅱ)證明:∵EF⊥平面AEB,AE?平面AEB,∴EF⊥AE,又AE⊥EB,EB∩EF=E,EB,EF?平面BCFE,
          ∴AE⊥平面BCFE. 過(guò)D作DH∥AE交EF于H,則DH⊥平面BCFE.∵EG?平面BCFE,∴DH⊥EG.
          ∵AD∥EF,DH∥AE,∴四邊形AEHD平行四邊形,∴EH=AD=2,∴EH=BG=2,又EH∥BG,EH⊥BE,
          ∴四邊形BGHE為正方形,∴BH⊥EG. 又BH∩DH=H,BH?平面BHD,DH?平面BHD,∴EG⊥平面BHD.
          ∵BD?平面BHD,∴BD⊥EG.
          (Ⅲ)分別以 EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸,建立空間坐標(biāo)系,由已知得
          EB
          =(2,0,0)

          是平面EFDA的法向量.設(shè)平面DCF的法向量為n=(x,y,z),∵
          FD
          =(0,-1,2),
          FC
          =(2,1,0)
          ,
          FD
          n
          =0
          FC
          n
          =0
          ,即
          -y+2z=0
          2x+y=0
          ,令z=1,得n=(-1,2,1). 設(shè)二面角C-DF-E的大小為θ,
          cosθ=cos<n,
          EB
          >=
          -2
          2
          6
          =-
          6
          6
          ,∴二面角C-DF-E的余弦值為-
          6
          6

          精英家教網(wǎng)
          點(diǎn)評(píng):本題考查證明線面平行、線線垂直的方法,用向量法求二面角C-DF-E的余弦值,是解題的難點(diǎn).
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          (I)求證:BE∥平面ACF;
          (II)求證:BF⊥AC;
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