Question

設(shè)x₁，x₂是f(x)=

a

3

x3+

b-1

2

x2+x（a，b∈R，a＞0）的兩個(gè)極值點(diǎn)，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f′（-2）的取值范圍；
（Ⅱ）如果0＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求證：b＜

1

4

；
（Ⅲ）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）時(shí)，函數(shù)g（x）=-f′（x）+2（x₂-x）的最大值為h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系列出關(guān)于a，b的不等式組是解決本題的關(guān)鍵，利用整體思想確定出f′（-2）的取值范圍；
（Ⅱ）建立b與x₁，x₂的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)所得的函數(shù)表達(dá)式利用函數(shù)的單調(diào)性求出b的取值范圍；
（Ⅲ）寫出函數(shù)g（x）的表達(dá)式是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最大值h（a），利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)得f'（x）=ax²+（b-1）x+1，由題意x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩根．
由x₁＜2＜x₂＜4，且a＞0得

f′(2)＜0 f′(4)＞0

即

4a+2b-1＜0，?(1) 16a+4b-3＞0，?(2)

f'（-2）=4a-2（b-1）+1=4a-2b+3，由（1）（2）所表示的平面區(qū)域可求得4a-2b＞0，
故f'（-2）=4a-2b+3＞3．
所以f'（-2）的取值范圍是（3，+∞）．
（Ⅱ）方程ax²+（b-1）x+1=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系得

x1+x2=- b-1 a x1x2= 1 a

由于x₁x₂≠0，兩式相除得-（b-1）=

x1+x2

x1x2

=

1

x1

+

1

x2

，即b=-

1

x1

-

1

x2

+1．
由條件x₂=x₁+2可得b=?（x₁）=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，易知當(dāng)x₁∈（0，2）時(shí)，φ（x）是增函數(shù)，
當(dāng)x₁∈（0，2）時(shí)，?（x₁）＜?（2）=

1

4

，
故b的取值范圍是(-∞，

1

4

)．得證．
（Ⅲ）因?yàn)閒'（x）=0的兩根是x₁，x₂，
故可設(shè)f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂），
所以g（x）=-f'（x）+2（x₂-x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=a（x₂-x）(x-x1+

2

a

)．
由于x∈（x₁，x₂），
因此x₂-x＞0，x-x₁＞0，
又a≥2，可知x-x₁+

2

a

＞0，
故g(x)=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)≤a[

(x2-x)+(x-x1+ 2 a )

2

]2=a(1+

1

a

)2=a+

1

a

+2，
當(dāng)且僅當(dāng)x₂-x=x-x₁+

2

a

即x=x₁+1-

1

a

時(shí)取等號(hào)．
所以h（a）=a+

1

a

+2，a∈[2，+∞），
當(dāng)a∈（2，+∞）時(shí)，h'（a）=1-

1

a2

＞0，h（a）在（2，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，
又h（a）在[2，+∞）上連續(xù)，
故h（a）在[2，+∞）上是增函數(shù)．
所以h（a）_min=h（2）=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)確定出相關(guān)的關(guān)系，列出相關(guān)的不等式進(jìn)行綜合轉(zhuǎn)化．本題考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查導(dǎo)數(shù)的工具作用．