Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AA₁=2，M是AB₁上的動(dòng)點(diǎn)，且AM=λAB₁，N是CC₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若λ=

1

2

，求證：MN⊥AA₁；
（Ⅱ）若直線MN與平面ABN所成角的大小為arcsin

3 14

，試求λ的值．

Answer 1

分析：（I）結(jié)合幾何體中的線面關(guān)系證明線面垂直即AA₁⊥面ABC，進(jìn)而可得AA₁⊥CE，又MN∥CE，所以可得答案．
（II）建立坐標(biāo)系求出平面的法向量與直線所在的向量，利用向量的基本運(yùn)算，求出兩個(gè)向量的夾角再結(jié)合線面角的范圍求出線面角即可．

解答：解（Ⅰ）證明：取AB中點(diǎn)E，連接ME，CE，則有ME與NC平行且相等．
∴四邊形MNCE為平行四邊形，MN∥CE
∵AA₁⊥面ABC，CE?面ABC
∴AA₁⊥CE，∴MN⊥AA₁．
（Ⅱ）以AB，AA₁為x軸，z軸，在面ABC內(nèi)以過A點(diǎn)且垂直于AB的射線為y軸建系如B(1， 0， 0)， N(

1

2

，

3

2

， 1)，B1(1， 0， 2)，M(λ， 0， 2λ)

MN

=(

1

2

-λ，

3

2

， 1-2λ)，  

AB

=(1， 0， 0)， 

AN

=(

1

2

，

3

2

，1)
設(shè)

n1

=(x，y，z)是平面ABN的一個(gè)法向量，則

n1 • AB =0 n1 • AN =0

∴

x=0 1 2 x+ 3 2 y+z=0

x=0 z=- 3 2 y

，令y=1∴

n1

=(0，1，-

3

2

)
設(shè)MN與面ABN所成角為θ
則sinθ=|cos＜

MN

，

n1

＞|=

3 2 + 3 2 (2λ-1)

( 1 2 -λ)2+ 3 4 +(1-2λ)2 1+ 3 4

=

3 14

λ

5λ2-5λ+2 • 7 2

=

1

14

，
化簡得3λ²+5λ-2=0，λ=-2或λ=

1

3

由題意知λ＞0，∴λ=

1

3

．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，便于判斷線面的位置關(guān)系以及建立坐標(biāo)系通過向量法解決空間角、空間距離問題．