Question

已知直線y=-2上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作直線l1垂直于x軸,動(dòng)點(diǎn)P在l1上,且滿足OP⊥OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),記點(diǎn)P的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程.

(2)若直線l2是曲線C的一條切線,當(dāng)點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離最短時(shí),求直線l2的方程.

 

Answer 1

(1) x2=2y(x≠0) (2) x-y-1=0或x+y+1=

【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,-2).

∵OP⊥OQ,∴當(dāng)x=0時(shí),P,O,Q三點(diǎn)共線,不符合題意,故x≠0.當(dāng)x≠0時(shí),得kOP·kOQ=-1,即·=-1,化簡(jiǎn)得x2=2y,

∴曲線C的方程為x2=2y(x≠0).

(2)∵直線l2與曲線C相切,∴直線l2的斜率存在.

設(shè)直線l2的方程為y=kx+b,

由得x2-2kx-2b=0.

∵直線l2與曲線C相切,

∴Δ=4k2+8b=0,即b=-.

點(diǎn)(0,2)到直線l2的距離

d==·

=(+)

≥×2

=.

當(dāng)且僅當(dāng)=,即k=±時(shí),等號(hào)成立.此時(shí)b=-1.

∴直線l2的方程為x-y-1=0或x+y+1=0.