Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，為的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，，，且.

（1）證明：平面.

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）要證明直線與平面垂直，需證明直線與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，為此需探究圖中的垂線關(guān)系；

（2）由（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再根據(jù)公式求出所求角的正弦值．

（1）證明：因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以，

連接，設(shè)，因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，為的中點(diǎn)，，

所以.又為等腰直角三角形，，

所以，

所以，則.

因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，

所以，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令，得.

設(shè)與平面所成角為，

因?yàn)?/span>，所以.

所以，即與平面所成角的正弦值為.