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        1. (2010•聊城一模)已知橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          的離心率為
          2
          2
          ,其左、右焦點分別為F1、F2,點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點,且|OP|=
          7
          2
          PF1
          PF2
          =
          3
          4
          (O為坐標(biāo)原點).
          (1)求橢圓C的方程;
          (2)過點S(0,-
          1
          3
          )
          且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點,在y軸上是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出M的坐標(biāo)和△MAB面積的最大值;若不存在,說明理由.
          分析:(1)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),由|OP|=
          7
          2
          x
          2
          0
          +
          y
          2
          0
          =
          7
          4
          ;由
          PF1
          PF2
          =
          3
          4
          x
          2
          0
          +
          y
          2
          0
          -c2=
          3
          4
          .所以c=1,由此能求出橢圓的方程.
          (2)動直線l的方程為y=kx-
          1
          3
          ,由
          y=kx-
          1
          3
          x2
          2
          +y2=1
          (2k2+1)x2-
          4
          3
          kx-
          16
          9
          =0
          .設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).則x1+x2=
          4k
          3(2k2+1)
          ,x1x2=-
          16
          9(2k2+1)
          .由此入手能求出當(dāng)且僅當(dāng)
          1
          t
          =1
          時,△MAB面積的最大值.
          解答:解:(1)設(shè)P(x0,y0),F(xiàn)1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),
          則由|OP|=
          7
          2
          x
          2
          0
          +
          y
          2
          0
          =
          7
          4
          ;
          PF1
          PF2
          =
          3
          4
          (-c-x0,-y0)•(c-x0,-y0)=
          3
          4

          x
          2
          0
          +
          y
          2
          0
          -c2=
          3
          4

          所以c=1…(2分)
          又因為
          c
          a
          =
          2
          2
          ,所以a2=2,b2=1.…(3分)
          因此所求橢圓的方程為
          x2
          2
          +y2=1
          .…(4分)
          (2)動直線l的方程為y=kx-
          1
          3

          y=kx-
          1
          3
          x2
          2
          +y2=1
          ,
          (2k2+1)x2-
          4
          3
          kx-
          16
          9
          =0

          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
          x1+x2=
          4k
          3(2k2+1)
          ,x1x2=-
          16
          9(2k2+1)
          .…(6分)
          假設(shè)在y上存在定點M(0,m),滿足題設(shè),
          MA
          =(x1y1-m),
          MB
          =(x2y2-m)
          MA
          MB
          =x1x2+(y1-m)(y2-m)=x1x2+y1y2-m(y1+y2)+m2

          =x1x2+(kx1-
          1
          3
          )(kx2-
          1
          3
          )-m(kx1-
          1
          3
          +kx2-
          1
          3
          )+m2

          =(k2+1)x1x2-k(
          1
          3
          +m)(x1+x2)+m2+
          2
          3
          m+
          1
          9

          =-
          16(k2+1)
          9(2k2+1)
          -k(
          1
          3
          +m)
          4k
          3(2k2+1)
          +m2+
          2
          3
          m+
          1
          9

          =
          18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)
          9(2k2+1)

          由假設(shè)得對于任意的k∈R,
          MA
          MB
          =0
          恒成立,
          m2-1=0
          9m2+6m-15=0
          ,
          解得m=1.
          故在y軸上存在定點M(0,1),
          使得以AB為直徑的圓恒過這個點…(10分)
          這時,點M到AB的距離d=
          4
          3
          k2+1

          |AB|=
          (k2+1)(x1-x2)2

          S△MAB=
          1
          2
          |AB|d=
          2
          3
          (x1-x2)2
          =
          2
          3
          (x1+x2)2-4x1x2
          =
          2
          3
          16k2
          2(k2+1)2
          +
          64
          9(2k2+1)
          =
          8
          9
          9k2+4
          (2k2+1)2

          設(shè)2k2+1=t,
          k2=
          t-1
          2
          ,
          t∈[1,+∞),
          1
          t
          ∈(0,1]

          所以S△MAB=
          8
          9
          9
          2
          (
          1
          t
          )-
          1
          2
          (
          1
          t
          )
          2
          =
          8
          9
          1
          2
          [
          81
          4
          -(
          1
          t
          -
          9
          2
          )
          2
          ]
          16
          9

          當(dāng)且僅當(dāng)
          1
          t
          =1
          時,上式等號成立.
          因此,△MAB面積的最大值是
          16
          9
          .…(13分)
          點評:通過幾何量的轉(zhuǎn)化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力,通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系處理,考查學(xué)生的運算能力.通過向量與幾何問題的綜合,考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問題的能力,探究研究問題的能力,并體現(xiàn)了合理消元,設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想.本題有一定的探索性.綜合性強,難度大,易出錯.
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          (2010•聊城一模)設(shè)z=1-i(i為虛數(shù)單位),則z2+
          2
          z
          ( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•聊城一模)已知A、B為拋物線C:y2=4x上的不同兩點,F(xiàn)為拋物線C的焦點,若
          FA
          =-4
          FB
          ,則直線AB的斜率為( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•聊城一模)不等式|2x-a|<2的解集為M,則“0≤a≤4”是“1∈M”的( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2010•聊城一模)設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},則A∩(?UB)=( 。

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          (2010•聊城一模)如圖,在直角梯形ABEF中,將四邊形DCEF沿CD折起,使∠FDA=60°,得到一個空間幾何體如圖所示.
          (1)求證:BE∥平面ADF;
          (2)求證:AF⊥平面ABCD;
          (3)求三棱錐E-BCD的體積.

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