Question

（本題滿分15分）

如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，右焦點(diǎn)為F，直線l為橢圓的右準(zhǔn)線，N為l上一動(dòng)點(diǎn)，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點(diǎn)M．

（1）若AM=MN，求∠AMB的余弦值；

（2）設(shè)過A，F，N三點(diǎn)的圓與y軸交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)

線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9）時(shí)，求這個(gè)圓的方程．

Answer 1

（本題滿分15分）

解：（1）由已知，，直線．

設(shè)N（8，t）（t>0），因?yàn)?i>AM=MN，所以M（4，）．

由M在橢圓上，得t=6．故所求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（4，3）．………………………4分

所以，．

．……………………………………7分

（用余弦定理也可求得）

（2）設(shè)圓的方程為，將A，F，N三點(diǎn)坐標(biāo)代入，得

∵ 圓方程為，令，得．…11分

設(shè)，則．

由線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，9），得，．

此時(shí)所求圓的方程為．………………………………………15分

（本題用韋達(dá)定理也可解）

（2）（法二）由圓過點(diǎn)A、F得圓心橫坐標(biāo)為－1，由圓與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（0，9），

得圓心的縱坐標(biāo)為9，故圓心坐標(biāo)為（－1，9）．…………………………………… 11分

易求得圓的半徑為，………………………………………………………………13分

所以，所求圓的方程為．……………………………………… 15分