Question

經(jīng)觀察，人們發(fā)現(xiàn)鮭魚(yú)在河中逆流勻速行進(jìn)時(shí)所消耗的能量為E=kv³t，其中v為鮭魚(yú)在靜水中的速度，t為行進(jìn)的時(shí)間（單位：h），k為大于零的常數(shù)．如果水流的速度為3km/h，鮭魚(yú)在河中逆流行進(jìn)100km．則當(dāng)鮭魚(yú)消耗的能量最少時(shí)，v=

4.5km/h

．

Answer 1

分析：根據(jù)相對(duì)速度的定義，求出鮭魚(yú)逆流行駛的速度為v-3，從而表示出鮭魚(yú)鮭魚(yú)逆流勻速行進(jìn)100km所用的時(shí)間，再代入公式E=kv³t，即可求出鮭魚(yú)在逆流中消耗的能量E關(guān)于v的解析式，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可．

解答：解：鮭魚(yú)逆流勻速行進(jìn)100km所用的時(shí)間為t=

100

v-3

．…（2分）
所以E=kv³t=kv³

100

v-3

=

100kv3

v-3

（v∈（3，+∞））．…（6分）
∴E′=100k

3v2(v-3)-v3

(v-3)2

=100k

2v2(v-4.5)

(v-3)2

．        …（10分）
令E′=0，解得v=4.5或v=0（舍去）．
因?yàn)閗＞0，v＞3，所以當(dāng)v∈（3，4.5）時(shí)，E′＜0，
當(dāng)v∈（4.5，+∞）時(shí)，E′＞0．
故E=

100kv3

v-3

在（3，4.5）上單調(diào)遞減，在（4.5，+∞）上單調(diào)遞增．…（13分）
所以，當(dāng)v=4.5時(shí)，E取得極小值也是最小值．
即當(dāng)鮭魚(yú)消耗的能量最少時(shí)，v=4.5km/h．
故答案為：4.5km/h．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題以物理學(xué)為背景，其實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的應(yīng)用，解題時(shí)要理解鮭魚(yú)在靜水中的速度和逆流中的速度之間的關(guān)系，正確對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，合理地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的最小值．