Question

如圖，DE把邊長為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，D在AB上，E在AC上，設(shè)AD=x（x≥a），DE=y，
（1）試用x表示y；
（2）求DE的最小值．

Answer 1

分析：（1）由面積公式及已知DE把邊長為2a的等邊△ABC分成面積相等的兩部分，可用x表示AE，在△ADE中，由余弦定理得到用x表示y；
（2）根據(jù)上述表達(dá)式，使用基本不等式即可求得y的最小值．

解答：解：（1）∵△ABC是邊長為2a的等邊三角形，∴S△ABC=

1

2

×(2a)2×sin60°，
又S△ADE=

1

2

x×AE×sin60°，且已知S△ADE=

1

2

S△ABC，
∴

1

2

x×AE×sin60°=

1

2

×

1

2

×(2a)2×sin60°，解得AE=

2a2

x

．
在△ADE中，由余弦定理得y2=x2+(

2a2

x

)2-2x×

2a2

x

×cos60°，
∴y=

x2+ 4a4 x2 -2a2

（a≤x≤2a）．
（2）由基本不等式可得x2+

4a4

x2

≥2

x2× 4a4 x2

=4a²，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2

a時(shí)取等號(hào)．
∴y≥

4a2-2a2

=

2

a，即當(dāng)x=

2

a時(shí)，y的最小值是

2

a．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的面積、余弦定理及基本不等式，充分理解以上知識(shí)是解決此問題的關(guān)鍵．