Question

對(duì)于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），定義f₁（x）=f（x），f₂（x）=f（f₁（x）），…，f_n（x）=f（f_n-1（x）），n=1，2，3，…．滿足f_n（x）=x的點(diǎn)x∈[0，1]稱為f的n階周期點(diǎn)．設(shè)f(x)=

2x 0≤x≤ 1 2 2-2x 1 2 ＜x≤1

則f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答：解：當(dāng)x∈[0，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0
當(dāng)x∈（

1

2

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=

2

3

∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2
當(dāng)x∈[0，

1

4

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0
當(dāng)x∈（

1

4

，

1

2

]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=

2

5

當(dāng)x∈（

1

2

，

3

4

]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=

2

3

當(dāng)x∈（

3

4

，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=

4

5

∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2²
依此類推
∴f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2ⁿ
故答案為：2ⁿ

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題．