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        1. 已知f(x)是定義域為R的函數(shù),給出下列命題:
          ①若f′(1)=0,則x=1是f(x)的極值點;
          ②若1<a<3,則函數(shù)f(x)=
          (3-a)x-3,x≤7
          ax-6,x>7
          是單調(diào)函數(shù);
          ③若f(x)為奇函數(shù),又f(x+1)為偶函數(shù),則f(1)+f(3)+…+f(19)=f(2)+f(4)+…+f(20);
          ④若f(x)=xn+1(n∈N*),且f(x)在x=1處的切線與x軸交于點(xn,0),則lgx1+lgx2+…+lgx99=-2
          其中正確命題的序號是
          ③④
          ③④
           (寫出所有正確命題的序號).
          分析:①利用函數(shù)的極值和導數(shù)之間的關(guān)系進行判斷.②利用函數(shù)的單調(diào)性的意義進行判斷.
          ③利用函數(shù)的奇偶性進行求值.④利用導數(shù)的運算和對數(shù)的運算法則求值.
          解答:解:①因為f′(a)=0是函數(shù)在a處取得極值的必要不充分條件,所以①錯誤.
          ②若1<a<3,則函數(shù)f(x)=ax-6在(7,+∞)為單調(diào)遞增函數(shù),f(x)=(3-a)x-3在(-∞,7]單調(diào)遞增.
          若函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,則7(3-a)-3<a,此時a>
          9
          4
          ,所以當1<a
          9
          4
          時,函數(shù)不單調(diào),所以②錯誤.
          ③若f(x)為奇函數(shù),又f(x+1)為偶函數(shù),所以f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1),即f(x+2)=-f(x),
          所以f(x+4)=f(x),即函數(shù)的周期為4.
          所以f(1)+f(3)=f(1)+f(3-4)=f(1)+f(-1)=0,f(5)+f(7)=f(1)+f(3)=0,…
          f(17)+f(19)=f(1)+f(3)=0,所以f(1)+f(3)=+…+f(19)=0.
          而0=f(2)+f(-2)=f(2)+f(-2+4)=2f(2),所以f(2)=0,所以f(2)=f(6)=f(10)=f(14)=f(18)=0,
          又f(4)=f(8)=f(12)=f(16)=f(20)=f(0)=0,所以f(2)+f(4)+…f(20)=0.
          所以f(1)+f(3)+…f(19)=f(2)+f(4)+…f(20).所以③正確.
          ④函數(shù)的導數(shù)為f'(x)=(n+1)xn,所以f'(1)=n+1,f(1)=1.
          所以f(x)在x=1處的切線方程為y-1=(n+1)(x-1).
          切線與x軸的交點坐標為(xn,0),
          所以xn=1-
          1
          n+1
          =
          n
          n+1
          ,所以lgxn=lg
          n
          n+1

          所以lgx1+lgx2+…+lgx99=lg
          1
          2
          +lg
          2
          3
          +lg
          3
          4
          +…+lg
          99
          100
          =lg(
          1
          2
          ?
          2
          3
          ?
          3
          4
          99
          100
          )
          =lg
          1
          100
          =-2
          .故④正確.
          故答案為:③④.
          點評:本題主要考查命題的真假判斷,綜合性較強,涉及的知識點較多.
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          f(x)=x2-2x-1
          f(x)=x2-2x-1

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