Question

如圖，直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，DC上有一動點(diǎn)P，則△APC₁周長的最小值為（　�。�

• A．5+

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• B．5-

  21

• C．4+

  21

• D．4-

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Answer 1

分析：不妨令CP=a，則DP=4-a，分別在直角三角形ADC中求AP，在直角三角形C₁PC求出C₁P，在直角三角形C₁CA求出C₁A，然后相交求周長．將周長表示為參數(shù)a的函數(shù)，由于a∈[0，4]，在這個(gè)區(qū)間上求出周長的最小值即可．

解答：解：DC上有一動點(diǎn)P，令CP=a，則DP=4-a，
由于直三棱柱ABB₁-DCC₁中，∠ABB₁=90°，AB=4，BC=2，CC₁=1，
∴周長S=AP+C₁P+C₁A=

4+(4-a)2

+

1+a2

+

1+AC2

=

(0-(-2))2+(a-4)2

+

(0-1)2+(a-0)2

+

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其中

(0-(-2))2+(a-4)2

+

(0-1)2+(a-0)2

是可以看作平面直角坐標(biāo)系中（a，0）與兩點(diǎn)（4，-2）以及（0，1）兩點(diǎn)距離和的最小值，由圖形中點(diǎn)（a，0）恰好是過兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，上式的值最�。�
由兩點(diǎn)式知過兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的直線的方程是3x+4y-4=0，其與x軸的交點(diǎn)是（

4

3

，0），
即當(dāng)a=

4

3

時(shí)，

(0-(-2))2+(a-4)2

+

(0-1)2+(a-0)2

的最小值為兩點(diǎn)（4，-2）與（0，1）的距離，其值為5，故周長為5+

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故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查用勾股定理在直角三角形中求兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是找到所求線段存在的直角三角形，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．